《醫生你到底在想啥？》之除了刷牙、賣羊奶以外，另一位偉大的貝氏

●除了刷牙、賣羊奶以外，另一位偉大的貝氏



我們用「P( )」來代表括弧內事情的機率，A帶表是女性，B代表有留長髮。



所以，P(A)就是「事前機率」（總體女生人口比率），P(B)為「新資訊為陽性的機率」（整體留長髮的機率），P(A∣B)則是知道B資訊（留長髮）後，A（是女生）的機率，也就是「事後機率」。P(B∣A) 是所有女性（A）當中，留長髮（B）的機率，也就是「敏感性」。



例如，我們已經知道如何利用「留長髮」的資訊，來計算一個台灣人「是女人」的機率：

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就可以簡化成：

{###_elleryhuang/7/1024047239.jpg_###}

（最後一步只是調整公式成一般習慣的寫法而已）



這裡上面介紹到這裡的一系列討論，都是在說明如何在獲得新資訊（乳房攝影結果、留長髮、穿裙子、有喉結）的條件之下，將我們原本對某一事件（乳癌、是男人、是女人）發生的機率，也就是「事前機率」，調整為一個新的發生機率大小，也就是「事後機率」。



這整套方法，都起源自十八世紀一位神父數學家，貝氏(Reverend Thomas Bayes, 1702-61)。



而{###_elleryhuang/7/1024047258.jpg_###}



這個公式，就是貝氏理論最重要的一條。



這個公式看起來很好記，不過如果真的硬背的話，卻是怎麼背怎麼忘。



其實，只要會使用行病學統計學最重要的那張2×2表格，這個公式就非常簡單了。



前面介紹乳癌篩檢的陽性檢測率，其實就是「事後機率」在醫學應用上的特殊名稱。所以我們就來看看剛剛計算陽性檢測率的2×2表格。



{###_elleryhuang/7/1024047240.jpg_###}





接著，我們把它改造成「將A事發生的機率（即事前機率P(A)）在獲得新資訊B的條件下，改變為事後機率（P(A∣B)）」的一般形式：

{###_elleryhuang/7/1024047241.jpg_###}





再複習一次，P(B∣A)也就是所有A事件中，其資訊B為陽性的機率，我還是喜歡用「敏感性」這個名字。因為要我們非數學專業的華語使用者去理解數學代號，總是沒那麼直覺，因此不利於思考。



由此表格可明顯看出，在獲得「B為陽性」這個新資訊之後，A發生的機率，即事後機率就等於：

{###_elleryhuang/7/1024047242.jpg_###}





消去分子分母的「總數」，並化為代號，就得到{###_elleryhuang/7/1024047258.jpg_###}



這個重要的公式了。



由這個公式，我們可以看出，事後機率分別與分子的「敏感性」及「A的機率」（事前機率）各成正比；又與分母的「B的機率」成反比。



用實際上的狀況來舉例，就非常好理解了。



大家都聽過「牧羊的孩子」這個故事吧！



故事中，牧羊的孩子出於好玩，就亂喊「狼來了！」。看到村民誤以為真的有狼，而全體出動，幫忙保護羊群，牧羊的孩子心裡覺得真好玩。但隨著牧羊的孩子越完越多次，村民就再也不相信「狼來了！」的情報是真的代表狼來了！



在這個故事中，主要講的就是「利用『喊狼來了』這個新資訊，來推測狼是不是真的來了。」



其中「平常時候狼出沒」的頻率，就是「事前機率」P(A)。



「喊狼來了」的頻率，就是B的機率P(B)。



而「在狼真的來了的情況之下，喊狼來了」的頻率，就是P(B∣A)，也就是「喊狼來了」對於推估「狼真的來了」的敏感性。



今天假設你是村民，你聽到山上放羊的孩子大喊「狼來了！」，你會有多相信狼真的來了呢？



第一，如果平常狼出沒的頻率越高，那你應該越會覺得這次狼來的機率也很高。所以我們從直覺推理出事後機率與「事前機率」成正比。



第二，如果你以前也當過牧羊童，你知道身為牧羊童，如果真的看到狼來了，幾乎都會喊「狼來了」，這種經驗也會加深你覺得這次狼來了是真的的感覺。也就是說，事後機率還與「敏感性」P(B∣A)成正比。



第三，如果別人跟你說這個牧羊的小孩三天兩頭就在喊狼來了，那就會讓你降低狼真的來了的可能性。也就是說，事後機率與「新資訊發生的頻率」P(B)成反比。



敏感的你可能會感覺到，雖然我已經盡力用直覺的方法去解釋這個事後機率的公式了，但好像還是很難用直覺去理解它。



所以，這個公式其實還有一個更容易理解，也更實用的變體。



在介紹這個實用又容易理解的變體公式之前，讓我們再利用2×2表格來介紹幾個新的概念。這次我們就用放羊的孩子來舉例了。