2011年7月26日 星期二

克服人類天性的文明發明:期望值與NNT

前文提到了人類無法直觀理解統計數據的概念。但



隨著文明的發展,人類利用其自身理性的優勢,發



展出數學、機率論、統計學等學問,讓我們有機會



克服天生的認知缺陷,更能掌握風險的概念,也讓



我們更能在不確定性下做出確定性最大的決策。





第一個偉大的發明就是「期望值」。





以前文所舉的電影「錢不夠用」的台詞為例:「買



馬票只有中跟不中兩個結果,所以中跟不重的機率



都是二分之一啦!」





我們可以理解買一張馬票要花100元的概念,也可



以理解買某一張馬票若中獎則可以得到800元的概



念,更可以理解沒中獎則一塊錢也拿不到的概念。



但我們就是無法直觀理解下列統計概念:「買某張



馬票中獎的機率是10%。」因為中獎的結果就只有



中跟不中,你要嘛得到800元,要嘛一塊錢也拿不



到。





於是機率論數學家就發明了「期望值」這個概念,



中獎機率10%,獎金800,期望值就是10%乘以



800等於80。





期望值80的意思並不是說你買一張馬票會得到



80元,事實上你買一張馬票永遠只能得到800



元或0元,絕對不可能得到80元。但最糟糕的



就是你根本不能確定你會得到800元還是0元



,這就是不確定性。





但是,如果你買了100張馬票,你可以期望你



很可能會得到接近8000元的總獎金。你當然



不可能完全確定,但那個不確定性已經比只買一張



馬票會得到多少獎金要確定的多了。而且隨著你買



馬票的張數越來越多,你所得到的總獎金就會越來



越確定地接近你的期望值乘以張數。





這就是利用大數法則來戰勝不確定性。





或許你看我這篇文章還看不到三句話,就已經在心



裡算出買馬票的期望值,並且發現這個期望值比馬



票的價錢還要低,因此不會買這個馬票了。事實上



對於一個不懂期望值的人來說,要做出買不買這張



馬票的決定,絕對不可能像你一樣輕而易舉。





當然我們很難在假裝自己不懂期望值之下,思考要



不要買這張馬票。但如果你有機會真的遇到不懂期



望值的人的話,你或許可以問問他一些買馬票、買



彩券的問題。你可能會對他的思考方式大吃一驚。





醫學也是一樣。醫生總是高估病人家屬理解死亡率



的能力,也導致許多醫療糾紛。我聽過好幾個醫生



對病人家屬說出這樣的話:「你不要問我死亡率,



對病人來說死亡率就只有百分之百或者零,也就是



死或活。死亡率對病人是沒有意義的。」這樣的話



可說是充滿了對人類認知能力極為深刻的體悟,病



人家屬聽到之後的反應通常是對醫生極為欽佩,或



許是因為這句話完全體諒了家屬無法理解死亡率的



關係。





但是,這句話絕對是誤導人的。死亡率絕對是有意



義的。假設今天你生了一個死亡率50%的病,有兩



顆藥丸給你選,甲藥丸吃了之後死亡率會變成80%



,乙藥丸吃了之後死亡率會變成30%,難道有人會



不選乙藥丸嗎?





可是不是說你的結果就只有死跟活,沒有80%半



死不活的,死亡率怎麼對你有意義呢?你為什麼



要選擇降低死亡率的乙藥丸呢?





要知道,人類無法直觀理解死亡率,不代表死亡率



就沒意義。





還好,人類發展出了統計學,統計學又發明了具有



上述期望值的效果的概念,讓藥物降低死亡率的效



果可以被我們直觀理解。





這個概念就是「益一需治值」(Number Need



to Treat),簡稱NNT。





以上面的例子來說,乙藥丸可以把死亡率從50%



降到30%,這20%的死亡率降低在一個人身上是



難以被理解的。不過,根據大數法則,如果有一百



個人得到此病,本來會有50個人死掉,但若這一百



個人都吃了乙藥丸,就大概會變成30個人死掉,



也就是說若給一百個此病病人吃乙藥丸,就可以救



20條人命。當然並不一定你每給一百個人吃乙藥丸



就一定確定可以救20條人命,但如果你給一萬個人



吃乙藥丸,就可以更確定救了兩千條人命。吃藥的



人越多,確定性就越高,這就是大數法則的應用。





藉由大數法則的應用,我們克服不確定性對我們決



策的影響。要知道,就算乙藥丸可以將死亡率50%



降到30%,但我們根本難以理解這個死亡率的降低



對於一個病人來說究竟有什麼意義。雖然這樣的難



以理解只不過是人類認知能力的限制,但這樣的限



制也很容易讓人類做出對自己不利的決策。





例如假設沒有科學證據以及法律的保護,我們很可



能無法享受到乙藥丸一百個人就可以救二十條人命



的好處。因為就算乙藥丸有如此功效,吃了乙藥丸



的病人還是有30%會死,也就是說,每十個吃了乙



藥丸的病人,就有三個會死。因為人類無法從死亡



率降低的概念來理解乙藥丸的救命功效,所死吃了



乙藥丸之後還是回天乏術的病人,其家屬就會說是



乙藥丸害病人死掉的,然後就會告這個醫生。如果



法官也不能理解,就會判這個醫生有罪,把這個醫



生搞到傾家蕩產。最後,就沒有醫生敢給病人吃乙



藥丸。





NNT的意思,就是要治療幾個病人,才可以救一條



人命(或者一個人得到療效,這療效不一定是救命



)。例如每一百個人吃乙藥丸就可以救二十條命,



因此乙藥丸的NNT就是5。





就像是期望值可以幫助我們在買馬票、彩券的時候



做出正確的決定一樣,NNT也可以幫助我們在評價



藥物或者醫生的功過的時候做出正確的判斷。



一個病人吃了乙藥丸之後活下來了,也不能確定一



定是乙藥丸救了他的命,因為本來就有50%的人



可以活下來。但若用NNT來思考,我們就可以非常



肯定的說:「如果給很多很多病人吃乙藥丸,那麼



每五個人裡面,乙藥丸就可以救一條人命!」





這裡再解釋一下有關NNT的一個知識,也就是NNT



是會隨著病人原本的死亡率不同而改變的。為什麼



要講解這個概念,是因為前陣子在上實證醫學的課



的時候,老師講到這個概念,但我同學就是不能理



解為什麼病人的死亡率改變的時候,NNT也會改變









假設有一群人得到此病的死亡率只有25%,而非



原來的50%,則NNT就會變成10,也就是變成要



給十個人吃乙藥,才會救一個人。





我同學不能理解為什麼同樣的藥給不同的人吃,



效果竟然會不同。





我只跟他講了一句話,他就理解了。





我跟他說,如果有一群人身強體壯,得到此病的死



亡率是零,你會給他吃乙藥丸嗎?當然不會吧。因



為本來就不會有人死掉,所以不管你給再多人吃乙



藥丸,都連一條人命也救不了。





這時NNT也就是無限大了。





所以,NNT當然會隨著病人原本的死亡率來改變。

2011年7月25日 星期一

無法直觀理解統計概念與不確定性是你我的天性

「小孩不笨」的新加坡導演在其「錢不夠用」中,



有這麼一句經典的對話:「你跟我說什麼馬票中獎



機率?我跟你說,買馬票只有中跟不中兩個選擇,



所以機率是百分之五十啦!」





當然我們的理性從上過國中數學課開始,都會告訴



我們上述說法是錯的,但我不知道你是不是跟我一



樣,心中還是有股被壓抑的衝動,想要贊同上述說



法呢?





其實這是正常的。





經濟學獎得主心理學家卡尼曼的經典實驗(我家應



該有三十本以上的書提到這個實驗,你說經不經典?):



琳达31岁,单身,性格外向,哲学毕业。在学校其



间关心歧视和社会公正问题,参加过反核武器抗议



示威活动。那么,她可能是:



1. 她既是银行职员又是个女权主义者。



2. 她是个银行职员。



請問琳达更有可能是哪一种人?





如果你跟大部分的受試者一樣,你會覺得琳達應該



既是個銀行職員又是個女權主義者。但答案其實是



2。





為什麼?因為無論琳達是個怎麼樣的人,她是個銀



行職員的「機率」絕對比她是個銀行職員「又」是



女權主義者的機率還大。國中生都知道的道理,為



什麼我們內心總是有股衝動要答錯?





關鍵就在於「機率」的概念,根本才發展了幾百年



而已,人類的大腦根本還沒有演化出理解機率的直



觀機制。





後來又有個心理學家出了很像的題目,但改成問說



「假設有一百個琳達,那麼其中是圖書館員的琳達



或者是圖書館員又是女權主義者的琳達比較多?」



(原始版本應該不是這樣的,只是我剛剛花了一個



小時,都找不到我到底是在哪一本書看到的,所以



只好憑印象引用)





這次,大部分的人都答對了。





這兩個實驗說明了,人們真的很難直觀理解像是



30%這樣的機率概念,但卻可以理解「一百個



人裡面有三十個人會怎樣」這樣的描述。





其實,機率的概念本來就是從對過去的樣本所做的



統計而得到的數據應用在對未來事件的預測上,是



一種隱喻的認知方式。





因此,像是「相對於安慰劑組,服用小續命湯的



中風患者死亡率可以從30%降低到20%」這樣的



統計框架語句是非常難以直觀理解的。人類的大腦



天生就是喜歡線性的因果解釋,因此如果吃了小續



命湯之後死亡,無可避免會歸咎於小續命湯。





但是,我們人類還有理性思考,因此發展出了統計



學。因此可以不被表象蒙蔽,藉由統計的方法找出



對人類有真實益處的東西。





根據以上心理學實驗的啟發,我們可以這麼說:



「一百個中風患者如果吃了安慰劑,會死三十個。



一百個中風患者如果吃了小續命湯,只會死二十個



。因此,只要我們給一百個中風患者吃小續命湯,



就是就了十條人命。」當然,若是針對單一個體,



我們無法百分之百肯定活下來的人一定是小續命湯



救的,因為本來就是會有七十個人就算不吃小續命



湯也會活,也就是說活下來的人也只有八分之一的



機率是小續命湯救活的。





但是,如果我們因為無法在針對單一病人的思考層



次上確定小續命湯的效果,而忽視「小續命湯一百



個人裡面確定可以救十個人」這樣確定的事實,那



就真的愧對我們的智慧了。





因此,不確定性是確定存在的,但卻可以透過大數



法則而趨於確定。如果我們都能學會大數法則的思



考方式,將有助於我們在面對單一個體的不確定性



時做決策。





例如投資理財,也是同樣的道理......。







(為了不要花費太多時間在寫網誌上,今後我盡量



不引經據典,就算要引用也是憑印象引用,因此可



能會有錯誤,還請各位朋友海涵)





(這篇文章從頭到尾寫起來都卡卡的很不流暢,



讓各位讀者看得辛苦真是不好意思,希望之後能



改進。)

2011年7月24日 星期日

我的閱讀歷程簡介

最近網誌荒廢了很久,因為都在猛K投資理財的書。



到目前為止我大概累積了五六百本的書。大學以前



主要看了很多推理小說,其他都是毫無主題喜歡的



就看。真正形成我目前幾大類書籍主題,可能是從



高中讀平克的「語言本能」開始吧。這本書讓我開



始接觸語言學,甚至還做了一份自嗨的研究台語的



歷史科展報告。接下來會跟各位朋友介紹我對台語



的想法。





上了大學之後,一開始當然是以中醫為主題買了許



多書籍,閒暇之餘又慢慢涉獵更多心理學的書籍。



其中最經典的一部書當然又是平克的「心智探奇」



了!





心理學這門領域,只要一不小心栽入了,就很容易



會發展出別門領域的興趣。首先是從認知心理學讀



到心靈哲學,然後又因為對NLP有興趣而在批踢踢



上讀到一篇NLP高手寫的文章,開始接觸李天命以



及分析哲學。當然傳統的分析哲學我並沒有深入研



究,而是對心理學的另一分支批判性思考興趣較高



,我覺得李天命的文章比較偏向批判性思考,當然



這跟分析哲學也是有很大重疊的。





接著心理學又將我的閱讀領域擴展到演化心理學(



當然「謎男」的「把妹達人」也是讓我對演化心理



學有興趣的媒介之一)。接觸演化心理學是我思想



體系成形的一個很重要的關鍵,因為接下來所接觸



的各種領域幾乎都要有一個演化心理學的架構來思



考才能融會貫通。因此我認為演化心理學應該算是



現代知識份子必備知識。





接著當然就近入了行為科學的領域,市面上最暢銷



的代表書籍就是「誰說人是理性的」了。探究人類



非理性行為的心理學家卻得到經濟學獎的卡尼曼,



我估計家裡可能有超過一百本書都有提到這個人。





也就是經由行為科學,讓我開始對經濟學以及投資



理財的書籍有興趣。我記得我的第一本經濟學入門



書是「髒錢」,居然是個哲學家寫的,但寫的真的



非常好。





最後就是步入我最近在鑽研的投資理論。我發現投



資理論幾乎將我之前所涉獵的知識都用上了,而且



我再看的書每一本都好像是《什麼是中醫,這才是



西醫》(其中的中醫義和團,當然就是股市名嘴還



有大部分金融業者了)。尤其是台大主治醫師綠角



的兩本著作,越看越感到親切,十足有在看自己文



章的感覺,當然我說的只是語氣,金融知識方面我



當然不及綠角的百分之一。





讀了這麼多演化心理學、行為科學、投資理論的書



之後,我也更深刻的體會到,無法直觀理解統計概



念與不確定性完全就是人類的天性。





其實我這篇文章本來是要講這個人類天性的,可是



一開始就把話題扯遠了,因此下篇文章再談吧!

2011年7月23日 星期六

從李可老中醫中風自服小續命湯加細辛談實證醫學的重要性

昨天學弟傳了個網頁給我,內容是有關



李可老中醫中風自服小續命湯加細辛的訪談。



看完之後,我第一個問自己的問題是:「如果今天



我中風了,我敢自己吃小續命湯加細辛嗎?」



很遺憾的,答案是:不敢。





某些看到這篇文章的中醫可能會說這是我「孬」。



那麼,請忽略我的回答,捫心問自己兩個問題:「



如果你的中風病患適合吃小續命湯,你會給他吃嗎



?」、「如果你的家人或你自己中風了且適合吃小



續命湯,你會吃嗎?」我想,兩題都回答「是」的



人,應該不會比家人中風會送西醫醫院的人還多。





為什麼?根據古代中醫典籍的描述,以及李可老中



醫自己中風自己小續命湯加細辛的案例,小續命湯



治療中風不是應該有神奇的療效嗎?





問題在於,以古人的經驗加上李可的案例為證據,



你能有多強的信心?





如果一個人從來不需要面對病人,那他根本無法體



會在眾多號稱自己有效的療法中選擇一個最可信的



療法的過程,有多麼痛苦。



如果一個人的見識跟直銷商一樣只有醫案、醫案、



再醫案,卻不知道現代醫學已經龜毛到連感冒吸熱



蒸汽都有人做臨床試驗,那他當然不知道為什麼洋



鬼子一直要求無聊的統計數據。





如果小續命湯加細辛治療某些中風的病人真的有神



奇的療效,那麼因為中醫遲遲沒有負責任提出使人



敢放心使用的證據而枉死的那些命,都該算在中醫



頭上。





細辛也是一樣。不只是李可,我遇過很多中醫,他



們也都認為所謂「細辛不過錢」根本是無稽之談。



但說歸說,這些中醫在臨床上還是不敢給病人用過



錢的細辛。你可以說這都是因為怕用了之後出問題



被病人家屬告。但是,西醫也有許多看起來更可怕



的療法,為什麼人家就敢用,就不怕被告?





證明細辛超過錢也很安全是中醫的責任,不要把責



任推給病人。





假設有一百個中風的人,沒吃小續命湯有五十個會



死,吃了小續命湯只有三十個會死,不論你有多討



厭統計數據,都無法否認小續命湯救了那二十個人



的性命。





無論你有多討厭統計數據,小續命湯救了二十個人



的事實還是存在,吃了小續命湯還是有三十個人會



死的事實也還是存在。你不去統計,就只是鴕鳥心



態。不會因為你不統計,小續命湯就能治好每一個



人。





但今天欠缺的就是那個統計數據,所以你要是膽敢



給病人吃小續命湯,那本來就會死的三十個病人家



屬就可以把你告到死。所以沒有人敢用。





再問自己一次:「如果今天你家人或自己中風了,



又適合吃小續命湯,你敢給家人或自己吃嗎?」。



再問自己一次:「你敢給病人開超過一錢的細辛嗎



?」





如果答案都是「否」,那恭喜你,已經瞭解實證醫



學的重要性。

2011年7月22日 星期五

清代的防衛性醫療

徐靈胎是我最崇拜的古代中醫。



我認為他身處清代,但卻擁有現代人的腦子,邏輯



清晰;也具有現代鄉民的實力,酸文噓文樣樣來。



甚至他還專門寫了一本《醫貫砭》,把明代趙獻可



的《醫貫》砭得體無完膚,簡直跟李敖大師出書攻



擊《大江大海》沒兩樣。





最近又重新讀了他的黑特極短篇《慎疾芻言》看到



兩段描述當時防衛性醫療的文字,貼來給各位朋友



分享。





兩段文字都是批評當時的醫生濫用溫補藥的風氣。



但靈胎兄用「防衛性醫療」的角度來解釋濫用溫補



藥風氣的成因,這讓我這個處於防衛性醫療同樣氾



濫時代的現代人,看了也不經想起現代心理學家例



如《語言本能》作者史帝芬平克、史丹佛監獄實驗



的金巴多等人一致的結論:人性從大草原時代到現



代並沒有多大的改變,只有制度與文明才能讓我們



創造出更良善的社會。





靈胎兄說:



「然其死也,病家不咎熱藥之誤,而咎寒藥之誤何



也?蓋人之死也必漸冷,服熱藥而反冷,則信以為



非藥之故;若服寒藥而冷,則明明以藥使之冷矣。



故熱藥之殺人不覺,而寒藥之殺人顯然,所以醫者



寧可用補用熱,雖死而猶可免咎也。」





大意是說因為人死了身體會變冰冷,所以若醫生開



的是寒涼藥,家屬就會覺得病人是因為吃你醫生的



藥才死的。所以醫生都寧可不用寒涼藥,反正就算



用了溫補藥讓病人死得更快,家屬也看不出來,也



不會告你。





另一段文字是:



「余少時見問疾者,聞醫家已用補藥則相慶病者已



愈...人人...以為我等不怕病死,只怕虛死。所



以補藥而死,猶恨補之不早、補之不重,並自恨服



人參無力,以致不救。醫者虛脫之言,真有先見之



明,毫無疑悔。若服他藥而死,則親戚朋友,群詬



病家之重財不重命,死者亦目不能瞑。醫者之罪,



竟不勝誅矣!...或有稍識病之醫,即欲對症擬方



,迫于此等危言,亦戰戰兢兢,擇至補之藥,以順



其意,既可取容,更可免謗,勢使然也。此風之起



,不過三十余年,今則更甚,不知何時而可挽回也



?」





這段是說因為病人都很喜歡吃補,所以假如醫生針



對病情開出不是補藥的藥,結果病人死了,則眾家



屬就開始抬棺抗議灑冥紙,告你醫生重財不重命沒



醫德。所以醫生為了怕被告,只好順應家屬的意思



,一直開補藥了!





這完全就是現代醫療環境的貼切描述阿!所以為什



麼我會說靈胎兄真的是活在古代的現代人!





靈胎兄,我可以回答你最後的問題,這種防衛性醫



療的風氣,到了二十一世紀的現代,依然風行!

2011年7月7日 星期四

《醫生你到底在想啥?》之概似比(likelihood ratio)

●概似比(likelihood ratio)



為什麼經過是當網目大小的篩子篩選過後,篩子裡的紅豆比例會提高呢?



為什麼我們知道乳房攝影的結果是陽性之後,就會提高病人有乳癌的可能性呢?



為什麼我們知道一個人有喉結之後,就會提高他是男性的可能性呢?



為什麼我們知道一個人穿裙子之後,就會提高她是女性的可能性呢?



為什麼我們聽到放羊的孩子(在還沒有發現他愛說謊之前)大喊狼來了之後,就會覺得狼來了呢?



因為平均來說紅豆比綠豆大,也就是說,在所有紅豆裡面大過篩子網目的紅豆的比率(真陽性率,即敏感性),比所有綠豆裡面大過篩子網目的綠豆的比率(偽陽性率,即1-特異性,即雜訊)還高。



因為有乳癌的乳房比沒有乳癌的乳房還要有可能乳房攝影看起來像乳癌。也就是說,在所有乳癌的病人裡面,乳房攝影陽性的比率(敏感性),比所有非乳癌者裡面乳房攝影陽性的比率(1-特異性)還高。



因為男性相對於女性有比較高的比率有喉結,因為女性相對於男性有比較高的比率穿裙子。



因為狼來了的時候牧童比較可能喊狼來了(真資訊),狼沒來的時候牧童比較不可能喊狼來了(假情報)。



複習一下之前學過的ROC曲線。我們知道一個有用的檢測資訊,其ROC曲線一定要比「完全沒用的檢測資訊的『╱』型ROC曲線」還要左邊。



這是因為「╱」型ROC曲線代表這個檢測的敏感性(真陽性率)等於「1-特異性」(偽陽性率),也就是有用的資訊跟雜訊一樣多,因此這個檢測資訊一點用也沒有。



我們篩紅豆的時候,我們當然希望比篩子大的紅豆佔所有紅豆比率(敏感性)越高越好,同時也希望比篩子大的綠豆佔所有綠豆比率(1-特異性)越低越好。



乳癌的病人乳房攝影陽性的比率越高越好,沒乳癌的人乳房攝影最好不要陽性。



狼來了的時候牧童最好用力喊狼來了,狼沒來的時候牧童最好不要亂喊。



也就是說,我們希望真資訊越多越好,假情報越少越好。



因此,我們就可以使用「敏感性」(真陽性率,即真資訊)比上「1-特異性」(偽陽性率,即假情報)的比例,來評估一項檢測資訊的有用程度。這個比例,我們就稱之為「概似比」(likelihood ratio)(概似比事實上就是ROC曲線上任一點的斜率),如下圖:

{###_elleryhuang/7/1024047248.jpg_###}



likelihood ratio翻譯成「概似比」也是很怪,原因同樣是因為如果翻成「可能性」的話,會跟之前提過的「機率」還有「勝算比」搞混。這是因為中文的「可能性」一詞包含了英文probability、odds以及likelihood三個概念。



我們回到原本的貝氏公式:

{###_elleryhuang/7/1024047249.jpg_###}



前面大費周章的介紹了直覺上比較容易理解的「勝算比」以及「概似比」的概念,當然就是希望能將這個公式改為利用到勝算比及概似比的公式,以便於理解。



我們想要用事前勝算比來代替事前機率;用事後勝算比來代替事後機率。



我們可以用2×2表格來作小抄,不過為了要讓你練習一下剛剛所教的概念,所以這裡我將表格化繁為簡:

{###_elleryhuang/7/1024047250.jpg_###}



這裡要利用到在2×2表格裡一直出現,卻一直沒有用到的四個小a、b、c、d,這樣才比較容易解釋。



利用小abcd來表達:

{###_elleryhuang/7/1024047251.jpg_###}



{###_elleryhuang/7/1024047252.jpg_###}



{###_elleryhuang/7/1024047253.jpg_###}



{###_elleryhuang/7/1024047254.jpg_###}



我們發現,事後勝算比,居然就剛好等於「事前勝算比」乘以「概似比」:



事後勝算比 = 事前勝算比 × 概似比





這個公式就非常符合我們的直覺了。



事後勝算比,也就是我們在得知一個新訊息、新證據、新檢測結果的情況下所認為某件事發生的可能性(odds),會等於我們原本認為這件事發生的可能性(事前勝算比)乘以這個新資訊的「強度」(概似比)。



而一個資訊的真陽性率越高(真資訊越多),偽陽性率越小(雜訊越少),其佐證的強度也越強。



放羊的孩子說實話的機率越高,說謊話的機率越小,他的話也就越可信。



我們在日常生活中,不正是這麼評估資訊可信度的嗎?





再用放羊的孩子來舉例,假設在平常的日子裡,一天有狼來,大概會有三天沒有狼來,所以,狼來了的事前勝算比就是( 1 )/( 3 )。(事前機率是( 1 )/( 1+3 )=25%)



每次狼來的時候,牧羊童有90%的機率覺得需要村民幫忙,會喊狼來了(敏感性=90%);在狼沒來的時候,牧羊童有15%的機率,想要耍一耍村民,會喊狼來了(偽陽性率,1-特異性=15%)。所以用「聽到喊狼來了」來判斷「狼真的來了」的概似比,就是( 90% )/( 15% )=6



所以,事後勝算比 = 事前勝算比 × 概似比

= ( 1 )/( 3 ) × 6

= 2



事後勝算比等於2,也就是說,在聽到牧羊童喊狼來了的條件下,狼真的來了的機率大概是狼沒有來的機率的2倍。



換算成事後機率,就是 ( 2 )/( 2+1 )=66.7%。



用事前機率與概似比來計算事後勝算比的公式,相較於計算事後機率的公式,除了直覺上容易理解之外,計算上也非常方便──因為根本用不著計算。



雖然事後勝算比的公式直覺上比較容易理解,但在實際上,我們還是比較習慣使用「事前機率」(疾病盛行率)的概念,來計算「事後機率」(陽性檢測值)。



但這種計算需要用到敏感性及特異性兩個數據,還要使用

{###_elleryhuang/7/1024047255.jpg_###}這樣一個複雜又難記的公式。



還好,偉大的統計學家,綜合了計算機率的公式以及計算勝算筆的公式,發明了一個計算用的圖表,可以讓我們快速的利用「事前機率」以及「概似比」,得出「事後機率」的數值。



這個圖表就叫做「概似比計算圖表」(Likelihood Ratio Nomogram):

{###_elleryhuang/7/1024047225.jpg_###}



圖表左邊是從0.1%到99%的事前機率(prior以及posterior probability是數學上的名詞,在醫學上則特稱為pre-test及post-test porbability,因為醫學主要是利用各種檢測(test)來作為新資訊)。



中間則是各種大小的概似比。



只要在某一事前機率上,畫一條穿過某一概似比的直線,就能對照出事後機率。



用我們剛剛牧羊童的數據作例子,事前機率是25%,概似比是6,我們就畫一條通過兩者的線:

{###_elleryhuang/7/1024047226.jpg_###}



就可以在右邊的事後機率尺之中,得出接近66.7%的事後機率了。



你可能會覺得奇怪,概似比怎麼可能會比1還小呢?



其實剛剛所介紹的概似比,應該稱為「陽性概似比」(positive likelihood ratio)。也就是在新資訊為「陽性」的情況下,改變事前勝算比的程度。



我們之前都只有討論聽到喊狼來了、有喉結、有穿裙子、乳房攝影為陽性的情況,事前機率如何轉變為事後機率。



但卻沒有討論到沒聽到喊狼來、沒有喉結、沒穿裙子、乳房攝影為陰性的情況,要如何計算事後機率。



在新資訊為陰性的條件下,我們只要把貝氏公式裡面的「B」都改為「非B」就可以了:

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在醫學上,若檢測結果為陰性,當然會降低檢測前所認為的罹病機率;而知道檢測結果為陰性之後罹病的機率,就稱為「陰性檢測率」(negative predictive value)。



陰性檢測率實際的公式,就交給各位讀者利用2×2表格來推導了。



我們這裡把重點擺在「概似比」上面。



這是因為,檢測結果為陰性的情況下,計算事後勝算比的公式,就跟檢測結果為陽性一模一樣,都是:



事後勝算比 = 事前勝算比 × 概似比



只不過,正如剛剛所說,若檢測結果為陽性,我們稱概似比為「陽性概似比」;陽性概似比一定大於1,因為一個有用的資訊一定會提高事前勝算比。



若檢測結果為陰性,則稱概似比為「陰性概似比」(negative predictive value);陰性概似比一定小於1,因為在一個有用的資訊為陰性的條件下,事後勝算比一定會比事前還低。



沒有喉結的人,是男性的機率一定比較低;沒穿裙子的人,是女性的機率一定比較低;乳房攝影結果陰性的人,得乳癌的機率一定比較低;沒聽到喊狼來了,狼來了的機率一定比較低。



至於陰性概似比的公式,也交給各位讀者利用2×2表格來練習了。





我們只需要知道,在概似比計算圖表中間,小於1的概似比,就是陰性概似比,是用來計算在新資訊或檢測結果為陰性的情況下,事後機率為多少。





最後,陽性概似比以及陰性概似比最重要的貢獻,就是讓醫生知道一個檢測結果可以用來「確認」(rule in)一個疾病,還是「排除」(rule out)一個疾病。



實際臨床上,醫生的腦袋不可能記得每一個疾病的盛行率,也不可能記得每一項檢測的陽性及陰性概似比。



醫生只能憑經驗及知識,將一個人是某個疾病的事前機率大略歸為「很有可能」、「中等可能」、「不太可能」。



在這種情況下,學會應用概似比的大原則就很重要了。



大原則是這樣的:若陽性概似比超過10,則陽性的結果可以用來「確認」一個事前機率「很有可能」或「中等可能」的疾病,使其事後機率達到一般的治療閾值,以確立診斷。



但如果事前機率就是「不太可能」,則就算一項檢測的陽性概似比超過10,其陽性結果也無法用以確認診斷。最好的例子就是乳房攝影篩檢了!



至於陰性概似比,若小於0.1,則陰性的結果可以用來「排除」一個事前機率「中等可能」或「不太可能」的疾病,使其事後機率小於檢測閾值,以排除該診斷。



但如果事前機率就已經「很有可能」了,則就算一項檢測的陰性概似比小於0.1,其陰性結果也無法用以排除診斷。





無論是計算事後機率的公式,還是計算事後勝算比的公式,都屬於貝氏機率理論。



無論是Google自動駕駛車、博客來網路書店、臉書,還是各種人工智慧產品,主要都是利用了貝氏機率理論,來計算各種機率。





學會了貝氏機率理論,及其在醫學上的應用,以及學會敏感性、特異性、陽性檢測率、概似比等概念之後,我們就可以繼續來看看,臨床醫師是怎麼藉由詢問病史、做理學檢查、安排實驗室及影像學檢測,以獲得各種不同陽性或陰性概似比的資訊,以調整事前機率為事後機率,最終達到超過治療閾值以確診,或低於檢測閾值以排除的過程。

2011年7月3日 星期日

《醫生你到底在想啥?》之勝算比(odds)

●勝算比(odds)



從剛剛到現在,我們在表達不管是「女性」、「乳癌」,還是「有狼來」的可能性時,都是利用整體數目作為分母,算出一個「絕對的機率」來代表。



國小數學都學過「比率」以及「比例」兩個不同的概念。



例如,有個披薩切成十片,你吃了七片,我吃了三片,我們可以用「絕對」的方式,說你吃的披薩佔了整個的十分之七的比率,也就是70%的比率。



但是,我們也可以用「相對」的方式,說你吃的片數跟我吃的片數的比例是7比3,而比值則是7/3。



我們很簡單就可以把比率換算成比例的比值形式:

比例(的比值形式)=比率/(1-比率)

例如上面披薩的例子,7/3就等於(70%)/(1-70%)=(70%)/(30%)=7/3



面對機率的概念,我們也同樣有「絕對」及「相對」兩種表達方式。



平時狼出沒的頻率,也就是事前機率,照之前的方法,我們是以所有「有狼來」及「沒有狼來」的總次數當分母,以所有「有狼來」的次數當分子,算出「狼出沒的絕對機率」。



但在現實生活中,身為一個村民,在你腦中狼出沒的可能性的概念,其實是「狼來」以及「沒有狼來」兩個事件出現的頻率在你腦中互相競爭。



如果狼來的次數比狼沒來的頻率多,就代表狼來的可能性比較高;反之如果狼沒來的頻率比狼來了的頻率少越多,你就越覺得狼不會來。



也就是說,我們對於某件事可能性的概念,其實比較像是從這件事出現跟沒出現的相對頻率經驗而來的。



用這種相對比例的概念,我們可以將「有狼來」的可能性,用「有狼來」的頻率比上「沒狼來」的頻率的比值來代表,我們稱之為有狼來的「勝算比」(odds):

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其中P(非A)的意思是「沒發生A事件的機率」,在這裡就是平常時間沒狼來的機率。



例如假設有狼來的頻率比沒狼來的頻率多三倍,那麼有狼來的勝算比就是3/1=3(有狼來的絕對比率為75%);假設有狼來跟沒狼來的頻率一樣,那麼有狼來的勝算比就是1/1=1(有狼來的絕對比率為50%)。



「Odds」翻譯為「勝算比」實在是有點奇怪。不過沒有辦法,因為另一個翻譯「可能性」容易與「事前機率」的「機率」(probability)混淆。



這是因為中文的「可能性」一詞,本來就同時具有「絕對的機率」,與「相對的勝算比」兩種概念。



總之,我們可以將「事前機率」的概念,用「事前勝算比」(prior odds)來代替:

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我們來看狼來了的2×2表格:

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同樣的道理,我們也用「事後勝算比」(posterior odds)的概念來代替「事後機率」:{###_elleryhuang/7/1024047246.jpg_###}





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接著,要介紹一個非常重要的概念。