2011年7月26日 星期二

克服人類天性的文明發明:期望值與NNT

前文提到了人類無法直觀理解統計數據的概念。但



隨著文明的發展,人類利用其自身理性的優勢,發



展出數學、機率論、統計學等學問,讓我們有機會



克服天生的認知缺陷,更能掌握風險的概念,也讓



我們更能在不確定性下做出確定性最大的決策。





第一個偉大的發明就是「期望值」。





以前文所舉的電影「錢不夠用」的台詞為例:「買



馬票只有中跟不中兩個結果,所以中跟不重的機率



都是二分之一啦!」





我們可以理解買一張馬票要花100元的概念,也可



以理解買某一張馬票若中獎則可以得到800元的概



念,更可以理解沒中獎則一塊錢也拿不到的概念。



但我們就是無法直觀理解下列統計概念:「買某張



馬票中獎的機率是10%。」因為中獎的結果就只有



中跟不中,你要嘛得到800元,要嘛一塊錢也拿不



到。





於是機率論數學家就發明了「期望值」這個概念,



中獎機率10%,獎金800,期望值就是10%乘以



800等於80。





期望值80的意思並不是說你買一張馬票會得到



80元,事實上你買一張馬票永遠只能得到800



元或0元,絕對不可能得到80元。但最糟糕的



就是你根本不能確定你會得到800元還是0元



,這就是不確定性。





但是,如果你買了100張馬票,你可以期望你



很可能會得到接近8000元的總獎金。你當然



不可能完全確定,但那個不確定性已經比只買一張



馬票會得到多少獎金要確定的多了。而且隨著你買



馬票的張數越來越多,你所得到的總獎金就會越來



越確定地接近你的期望值乘以張數。





這就是利用大數法則來戰勝不確定性。





或許你看我這篇文章還看不到三句話,就已經在心



裡算出買馬票的期望值,並且發現這個期望值比馬



票的價錢還要低,因此不會買這個馬票了。事實上



對於一個不懂期望值的人來說,要做出買不買這張



馬票的決定,絕對不可能像你一樣輕而易舉。





當然我們很難在假裝自己不懂期望值之下,思考要



不要買這張馬票。但如果你有機會真的遇到不懂期



望值的人的話,你或許可以問問他一些買馬票、買



彩券的問題。你可能會對他的思考方式大吃一驚。





醫學也是一樣。醫生總是高估病人家屬理解死亡率



的能力,也導致許多醫療糾紛。我聽過好幾個醫生



對病人家屬說出這樣的話:「你不要問我死亡率,



對病人來說死亡率就只有百分之百或者零,也就是



死或活。死亡率對病人是沒有意義的。」這樣的話



可說是充滿了對人類認知能力極為深刻的體悟,病



人家屬聽到之後的反應通常是對醫生極為欽佩,或



許是因為這句話完全體諒了家屬無法理解死亡率的



關係。





但是,這句話絕對是誤導人的。死亡率絕對是有意



義的。假設今天你生了一個死亡率50%的病,有兩



顆藥丸給你選,甲藥丸吃了之後死亡率會變成80%



,乙藥丸吃了之後死亡率會變成30%,難道有人會



不選乙藥丸嗎?





可是不是說你的結果就只有死跟活,沒有80%半



死不活的,死亡率怎麼對你有意義呢?你為什麼



要選擇降低死亡率的乙藥丸呢?





要知道,人類無法直觀理解死亡率,不代表死亡率



就沒意義。





還好,人類發展出了統計學,統計學又發明了具有



上述期望值的效果的概念,讓藥物降低死亡率的效



果可以被我們直觀理解。





這個概念就是「益一需治值」(Number Need



to Treat),簡稱NNT。





以上面的例子來說,乙藥丸可以把死亡率從50%



降到30%,這20%的死亡率降低在一個人身上是



難以被理解的。不過,根據大數法則,如果有一百



個人得到此病,本來會有50個人死掉,但若這一百



個人都吃了乙藥丸,就大概會變成30個人死掉,



也就是說若給一百個此病病人吃乙藥丸,就可以救



20條人命。當然並不一定你每給一百個人吃乙藥丸



就一定確定可以救20條人命,但如果你給一萬個人



吃乙藥丸,就可以更確定救了兩千條人命。吃藥的



人越多,確定性就越高,這就是大數法則的應用。





藉由大數法則的應用,我們克服不確定性對我們決



策的影響。要知道,就算乙藥丸可以將死亡率50%



降到30%,但我們根本難以理解這個死亡率的降低



對於一個病人來說究竟有什麼意義。雖然這樣的難



以理解只不過是人類認知能力的限制,但這樣的限



制也很容易讓人類做出對自己不利的決策。





例如假設沒有科學證據以及法律的保護,我們很可



能無法享受到乙藥丸一百個人就可以救二十條人命



的好處。因為就算乙藥丸有如此功效,吃了乙藥丸



的病人還是有30%會死,也就是說,每十個吃了乙



藥丸的病人,就有三個會死。因為人類無法從死亡



率降低的概念來理解乙藥丸的救命功效,所死吃了



乙藥丸之後還是回天乏術的病人,其家屬就會說是



乙藥丸害病人死掉的,然後就會告這個醫生。如果



法官也不能理解,就會判這個醫生有罪,把這個醫



生搞到傾家蕩產。最後,就沒有醫生敢給病人吃乙



藥丸。





NNT的意思,就是要治療幾個病人,才可以救一條



人命(或者一個人得到療效,這療效不一定是救命



)。例如每一百個人吃乙藥丸就可以救二十條命,



因此乙藥丸的NNT就是5。





就像是期望值可以幫助我們在買馬票、彩券的時候



做出正確的決定一樣,NNT也可以幫助我們在評價



藥物或者醫生的功過的時候做出正確的判斷。



一個病人吃了乙藥丸之後活下來了,也不能確定一



定是乙藥丸救了他的命,因為本來就有50%的人



可以活下來。但若用NNT來思考,我們就可以非常



肯定的說:「如果給很多很多病人吃乙藥丸,那麼



每五個人裡面,乙藥丸就可以救一條人命!」





這裡再解釋一下有關NNT的一個知識,也就是NNT



是會隨著病人原本的死亡率不同而改變的。為什麼



要講解這個概念,是因為前陣子在上實證醫學的課



的時候,老師講到這個概念,但我同學就是不能理



解為什麼病人的死亡率改變的時候,NNT也會改變









假設有一群人得到此病的死亡率只有25%,而非



原來的50%,則NNT就會變成10,也就是變成要



給十個人吃乙藥,才會救一個人。





我同學不能理解為什麼同樣的藥給不同的人吃,



效果竟然會不同。





我只跟他講了一句話,他就理解了。





我跟他說,如果有一群人身強體壯,得到此病的死



亡率是零,你會給他吃乙藥丸嗎?當然不會吧。因



為本來就不會有人死掉,所以不管你給再多人吃乙



藥丸,都連一條人命也救不了。





這時NNT也就是無限大了。





所以,NNT當然會隨著病人原本的死亡率來改變。

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